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곡선의 길이 공식 – 적분 – 네이버 블로그
곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.
Source: m.blog.naver.com
Date Published: 8/4/2021
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곡선의 길이(Arc Length) – 수학과 사는 이야기
곡선 y=f(x) y = f ( x ) 을 아래와 같이 다각형으로 잘라서 길이를 구한다. 근삿값의 수열이 극한이 있다면 이를 길이로 정의한다.
Source: suhak.tistory.com
Date Published: 5/10/2021
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[적분과 통계 이론 02탄] y=f(x) 곡선의 길이를 구하기? [QR]
01. 적분의 곡선의 길이 구하기를 시작하며… 적분의 맨마지막으로 나오는 곡선의 길이를 구하는 공식에 대해서 알아보고자 합니다.
Source: j1w2k3.tistory.com
Date Published: 8/17/2021
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곡선의 길이 – 지식저장고(Knowledge Storage)
곡선의 길이 ; Pk−1(xk−1,f(xk−1)),Pk(xk,f(xk)) ; −1Pk=√(xk−xk−1)2+{f(xk)−f(xk−1)}2 ; dydx=limΔt→ · =dydtdxdt=y′(t)x′(t).
Source: mathphysics.tistory.com
Date Published: 6/3/2022
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[5분 고등수학] 곡선의 길이
… f(x))$ 라고 놓구요. 점 B를 $(x+ \Delta x, f(x+\Delta x))$ 라고 놓겠습니다. 점 A부터 점 B에 이르는 곡선의 길이를 $\Delta l$ 이라고 ..
Source: hsm-edu-math.tistory.com
Date Published: 12/16/2022
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적분과 통계_적분_곡선의 길이_난이도 상 – 수악중독
곡선 \(y=\ln x\) 의 \(x=\sqrt{3}\) 에서 \(x=2\sqrt{2}\) 까지의 길이를 구하면? ① \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\) ② \(2+{\Large …
Source: mathjk.tistory.com
Date Published: 2/21/2022
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- Author: 수악중독
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- Date Published: 2020. 3. 6.
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곡선의 길이 공식 – 적분
평면에서 곡선의 길이
(1) 곡선 , 의 길이
(2) 곡선 의 길이
(2)번 공식은 사실, (1)번 공식과 같다.
(1)번 공식에 , 를 적용해보면
↓ ↓
곡선의 길이의 증명
(1) 곡선 , 의 길이
곡선 , 의 길이 은 오른쪽 [그림 1]과 같이 시각 에 대하여 좌표가 이고, 좌표가 인 점 가 좌표평면 위에서 시각 부터 까지 움직인 거리와 같다.
이때 오른쪽 [그림 2]와 같이 매개변수가 부터 까지 변할 때, 점 는 점 로 움직인다고 하면, 의 증분 가 충분히 작을 때 의 증분 은 선분 의 길이와 거의 같다.
따라서 곡선 , 의 길이 은
㉠
(2) 곡선 의 길이
함수 는 매개변수 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. ,
㉠에 의하여 곡선 , 의 길이 은
곡선의 길이(Arc Length)
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곡선 $y=f(x)$을 아래와 같이 다각형으로 잘라서 길이를 구한다. 근삿값의 수열이 극한이 있다면 이를 길이로 정의한다.
$x=a,\;\;x=b$ 사이를 $n$등분하여 $x_n$을 잡고 $P_i (x_i ,y_i )$로 놓자.
$$x_i =a+i\Delta x\;\;\bigg(\Delta x=\frac{b-a}{n}\bigg)$$
곡선의 길이를 $L$이라고 하면
$$\begin{equation}L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|\end{equation}$$
이다. 이제 이 식을 정리해 보자.
$\Delta y_i =y_i -y_{i-1}$라고 하면
$$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(x_i -x_{i-1})^2 +(y_i -y_{i-1})^2}=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +(\Delta y_i)^2}$$
평균값에 정리에 의해 구간 $[x_{i-1},x_i]$에 아래를 만족하는 $x_i^*$가 존재한다.
$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f^{\prime}(x_i^*)(x_i -x_{i-1})$$
$$\Delta y_i =f^{\prime}(x_i^*)\Delta x$$
따라서,
$$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +(\Delta y_i)^2}=\sqrt{(\Delta x_i )^2 +[f^{\prime}(x_i^*)\Delta x]^2}$$
$$=\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\sqrt{ (\Delta x_i )^2}=\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\Delta x_i $$
이를 정의에 대입하면
$$L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{ 1 +[f^{\prime}(x_i^*)]^2}\Delta x$$
$$\therefore L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f^{\prime}(x)]^2}dx$$
다시 적으면
구간 $[a,b]$에서 연속인 곡선 $y=f(x)$의 길이는 $$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2}dx$$
곡선이 $x=f(t)\;\;y=g(t)$와 같이 매개변수로 표현되었을 때는 치환적분으로 생각하면
$$L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\bigg(\frac{dx}{dt}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy}{dt}\bigg)^2}dt$$이다.
극형식으로 주어진 직선 $r=f(\theta)\;\;(a<\theta
[적분과 통계 이론 02탄] y=f(x) 곡선의 길이를 구하기? [QR]
01. 적분의 곡선의 길이 구하기를 시작하며…
적분의 맨마지막으로 나오는 곡선의 길이를 구하는 공식에 대해서 알아보고자 합니다. 이 부분은 부실하게 적혀 있는 책들이 많아서 재대로 이해 할 수가 없어서 공식을 그대로 외워서 푸는 사람들이 많은데 …증명이 조금 복잡한 편입니다.
차근 차근 확인해 나가면 ….여러가지 중요한 성질들을 증명과정 중에 적용이 되고 있다는 사실을 알 수 있고 향후 증명문제에 논술시험에도 도움이 될 것 같아서 ….
정적분의 정의를 이용해서 접근해 보도록 하겠습니다.
02. 구하고자 하는 곡선의 기본 조건들
함수f(x)가 구간 (a,b) 에서 미분가능하고
구간 [a,b]에서 곡선 y=f(x)의 길이를 L이라고 하겠습니다.
[5분 고등수학] 곡선의 길이
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$y=f(x)$ 라는 함수를 고려해봅시다.
임의의 점 A를 $(x, f(x))$ 라고 놓구요. 점 B를 $(x+ \Delta x, f(x+\Delta x))$ 라고 놓겠습니다.
점 A부터 점 B에 이르는 곡선의 길이를 $\Delta l$ 이라고 놓겠습니다.
$\Delta x$ 가 0으로 갈 때 아래와 같이 근사식을 적용할 수 있습니다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \overline{AB}$
A와 B의 좌표를 이용해서 선분 AB를 표현해봅시다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \Delta l =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\sqrt{\left [ f(x+\Delta x)-f(x) \right ]^{2}+(\Delta x)^{2}}$
양변을 $\Delta x$ 로 나눕시다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta l}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{\left [ f(x+\Delta x)-f(x) \right ]^{2}+(\Delta x)^{2}}}{\Delta x}$
$\Delta x$를 루트 안에 넣어줍시다.
$\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{ \Delta l}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}
\sqrt{\left [ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right ]^{2}+1}$
좌 우변의 극한값은 아래와 같습니다.
$\frac{dl}{dx} =\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}$
양변에 dx를 곱합시다.
$dl=\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}\ dx$
x=a 부터 x=b 까지의 길이는 아래 적분을 통해 구할 수 있습니다.
$l_{ab}=\int_{a}^{b}\sqrt{\left [ f'(x) \right ]^{2}+1}\ dx$
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적분과 통계
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곡선 \(y=\ln x\) 의 \(x=\sqrt{3}\) 에서 \(x=2\sqrt{2}\) 까지의 길이를 구하면?
① \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\) ② \(2+{\Large \frac{1}{2}} \ln {\Large \frac{3}{2}}\) ③ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln 3\)
④ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln 2\) ⑤ \(1+{\Large \frac{1}{2}} \ln {\Large \frac{3}{2}}\)
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